Hardware-Projekt HW05

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Chaos-Computing

Chaos-Engineering

Das Engineering mit Chaos umfasst zwei Teilbereiche:

1) Chaos-Control

2) Nutzung von chaotischen Teilsystemen innerhalb eines nicht-chaotischen Gesamtsystems.

Im ersten Fall wird versucht, ein chaotisches System in einen definierten, nicht-chaotischen Zustand oder eine nicht-chaotische Dynamik zu bringen, was durch ein Control-Verfahren geschieht, indem in einem äusseren Feedbacksystem Regelimpulse in das chaotische System gegeben werden. Systemänderungen werden durch Sensoren ermittelt, aus denen die weiteren Regelimpulse abgeleitet werden, unabhängig ob es sich um ein modellbasiertes Regelsystem, oder ein modellloses Regelsystem handelt.

Im zweiten Fall werden Eigenschaften chaotischer Systeme genutzt, um einen bestimmten Zweck zu erfüllen. In Ditto & Pecora (1993) beispielsweise die Nutzung chaotischer Systeme für die Krypotgraphie angesprochen.

Isoliert werden beide Bereiche kaum auftreten, da die Nutzung der chaotischen Eigenschaft auch die Einflussnahme auf das chaotische System erfordert, was durch Methoden der Chaos-Control geschehen soll. Diese Methoden werden jedoch nicht eingesetzt, um das System in einen nicht-chaotischen Zustand zu bringen, sondern in einen anderen chaotischen Zustand, der im weiteren operationalisiert wird. D.h. das System wird nach der Regeloperation immer noch durch einen Systemparameter lamda beschrieben, der grösser ist, als die Lamdawerte, die nicht-chaotische Systeme beschreiben (s.a. Langton (1991)). Wie im Abschnitt "Computing at the Edge of Chaos" im Rahmen des Software-Projektes SW09 dargestellt wurde, bedeutet dies, dass das System sich am Rande des Chaos befindet, oder rechts davon liegt, wobei die Fähigkeit der sinnvollen Operationalisierbarkeit mit der Näherung von lamda an 1 abnehmen dürfte, da das System immer mehr zufälligen Einflüssen unterliegt. Dies gilt zumindest für die Computing-Fähigkeiten des Systems, die am grössten in einem unscharfen und noch unbestimmten lamda-Intervall um 0,5 sind, das mit I(EoC) bezeichnet werden soll.

Infinite number of unstable periodic orbits

Im Rahmen dieses Hardware-Projektes soll die Computing-Fähigkeit physikalischer Systeme untersucht werden (Physics of Computation), die sich im Chaos befinden, wobei auch der Rand des Chaos eingeschlossen werden soll.

Lokal vernetzte Systeme, ähnlich Zellulären Automaten (CA), sind in der Lage, eine Vielzahl von arithmetischen Operationen, logischen Operationen, Kodierungen u.ä. zu leisten (siehe z.B. Sinha & Ditto (1999)). Allgemein kann gezeigt werden, dass solche Systeme eine universelle Turingmaschine (UTM) emulieren können. EA können genutzt werden, um CA-Individuen zu erzeugen, die globale, emergente Informationsverarbeitungsprozesse durchführen (s.a. Moshe Sipper).

Diese Sichtweise, die das Chaos-Controling beinhaltet, um ein System mit bestimmten globalen, aber einfachen Computing-Fähigkeiten zu erzeugen, soll jedoch nicht in diesem Projekt betrachtet werden. Als Ausgang soll der Ansatz von Babloyantz & Lourenco (1994) verwendet werden, wobei das folgende Zitat Ausgangsbasis und Leitlinie dienen soll:

"..., chaotic dynamics, even with view degrees of freedom, can in principle an infinite means of coding, as it is a "reservoire" of an infinite number of unstable periodic orbits. ..., the periodic orbits are used as coding devices. "

Deterministisches Chaos kann mathematisch beschrieben werden als eine Superposition von unendlich vielen periodischen Orbits. Könnten diese in einem physikalischen System operationalisiert werden, so kann die Hypothese aufgestellt werden, dass damit eine Klasse von informationsverarbeitenden Systemen erzeugt werden, die von-Neumann-Architekturen überlegen sind. Ob es sich dabei um Super-Turing-Systeme handelt bleibt offen, und wäre ebenfalls Gegenstand einer eigenen Untersuchung (siehe Siegelmann & Fishman (1998)).

Operationalisierbarkeit der Orbitale

Elektronische und optische chaotische Systeme

Der Appeal dieses Ansatzes besteht zum einen darin, dass eine Vielzahl von physikalischen Systemen existieren, die chaotisches Verhalten zeigen, bzw. zeigen können, wenn man den Systemzustand durch einen geeigneten Controlmechanismus in entsprechende Regionen des Zustandsraumes bewegt. Am Anfang soll analoge elektronische Hardware untersucht werden, wobei EA genutzt werden sollen, um Konfigurationen zu erzeugen, die ein unterschiedliches Mass an chaotischem Verhalten (Systemparameter lamda) besitzen. Hierbei kann die Vorgehensweise von Adrian Thompson genutzt werden, der die Taktgeber von FPGAs abschaltet, und somit aus digitaler Hardware analoge Hardware erzeugt. Sollte das Hardware-Projekt HW03 Free Evolvable Motherboard- (FEH)Plattform als Erweiterung des Evolvable Motherboard von Paul Layzell durchgeführt worden sein, so bieten sich FEHs als analoge EHW für diese Applikation an. Sollte das Hardware-Projekt HW04 "EHW auf der Ebene von 1-Synapsen-Transistoren" in Teilen bereits durchgeführt worden sein, so könnten entsprechende Hardware-Implementierungen genutzt werden.

Zum anderen könnten bereits aus kleinen physikalischen Systemen sehr grosse bzw. im Grenzfall beliebig grosse Informationsspeicher und informationsverarbeitende Systeme erzeugt werden, wie Babloyantz & Lourenco (1994) dies vermuten. D.h. ein dynamisches elektronisches System auf der Basis ungetakteter FPGAs wäre in jedem Fall genügend komplex, um die entsprechenden Versuche anzustellen.

Die Untersuchungen in der Domäne analoger elektonischer Hardware kann als Modell für dynamische Systeme mit höheren Frequenzen betrachtet werden. Chaotisches Verhalten ist in einem Stromkreis bekannt, der eine Frequenz von 19 Megahertz besitzt (siehe Spektrum Ticker vom 20.09.1999: Die Kontrolle des Unkontrollierbaren), während chaotisches Verhalten in optischen Systemen wie Laserdioden bekannt ist, das Frequenzen im Gigahertzbereich umfasst. Lasersysteme können Frequenzen bis in den Terrahertzbereich operationalisieren, wobei die Frage momentan offen ist, ob in solchen Systemen ebenfalls chaotisches Verhalten erzeugt werden kann. Da die Computingleistung dynamischer Systeme mit ihrer Frequenz steigt, wären optische chaotische Computingsysteme denkbar, die fünf bis sechs Zehnerpotenzen leistungsfähiger sind als Systeme auf der Basis elektronischer Hardware, wenn eine lineare Leistungssteigerungsfunktion unterstellt werden kann. Im Falle des Superpositions-Computing-Beispiel Quanten-Computing wächst die Leistung exponentiell mit der Anzahl der operationalisierbaren Qbits und der Anzahl der Operationen während einer Superpositionsphase, die eine Funktion der Zeit und somit der Frequenz sind. Ob das Superpositionsprinzip auf chaotische Systeme angewendet werden kann, ist eine offene Frage, die in einem Teilprojekt behandelt werden soll (siehe Superpositions-Computing).

Anwendung des Chaos-Computing

Superpositions-Computing

Das physikalische Superpositionsprinzip, das eine wesentliche Eigenschaft der Quantenmechanik und somit des Quanten-Computings ist, ist eine Folge des mathematischen Superpositionsprinzipes. Sind bei einer linearen, homogenen Differenzialgleichung y(sub1)(x)und y(sub2)(x) Lösungen, so ist y(sub1)(x) + y(sub2)(x) ebenfalls eine Lösung. Alle physikalischen Systeme, die durch eine oder eine Menge linearer, homogener Differenzialgleichungen beschrieben werden können, unterliegen diesem Superpositionsprinzip (siehe SCIENCE-WEEK September 24, 1999: 2. ON THE FUTURE OF QUANTUM COMPUTING).

Während der Superposition in Quantensystemen können die Einzelzustände nicht gemessen werden, woraus folgt, dass beim Quanten-Computing die Menge der Zwischenlösungen, die zu einem Zeitpunkt existieren, nicht ausgegeben werden, da dies die Kohärenz und damit die Superposition des Systems auflösen würde.

Superpositions-Chaos-Computing

Im Rahmen dieses Hardware-Projektes soll geprüft werden, ob Chaos-Systeme mit Computing-Fähigkeiten zu der Klasse der Superpositions-Computing-Systeme gehören, d.h. es soll geprüft werden ob ein Superpositions-Chaos-Computing existiert. Formal lässt sich dies darstellen, indem entsprechende Systeme durch lineare, homogene Differenzialgleichungen beschrieben werden. Schwieriger ist der empirische Nachweis, wobei die bislang gemachten Überlegungen zum Quanten-Computing einfliessen sollen.

Sollte die Hypothese des Superpositions-Chaos-Computing durch analoge elektronische EHW verifizierbar sein, so sollen in der zweiten Projektphase die Eigenschaften dieses Computing-Systems untersucht werden. Dies beinhaltet einen Vergleich der Computing-Fähigkeiten von Superpositions-Chaos-Computing und Quanten-Computing. Im Gegensatz zum Quanten-Computing besitzt ein Chaos-Computing keine vergleichbare Eigenschaft wie das Entaglement. Abhängig sind die Computing-Fähigkeiten von der Wachstumsfunktion innerhalb der Superpositionsphase, die bei Quantensystemen exponential ist. Beispielsweise könnte die Hypothese getestet werden, dass die Wachstumsfunktion bei Superpositions-Chaos-Computing eine Potenzfunktion ist, d.h. polinominal ist, da insbesondere Systeme am Rande des Chaos durch Iterierende Funktionssysteme (IFS) beschrieben werden, die Potenzfunktionen sind.

Bei einem Superpositions-Computing existieren zu einem Zeitpunkt eine Menge von parallel vorliegenden Zuständen, die als Zwischenlösungen oder alternative Lösungsansätze interpretierbar sind. Diese sind von ausserhalb des Systems nicht zu messen oder einzusehen. Diese internen Zustände sind somit zu unterscheiden zu externen Zuständen, die durch einen Messmechanismus ermittelt werden. Bezüglich der begrenzten Auflösung einer Messung bedeutet dies, dass ein Superpositions-Computing-System intern mit einer sehr grossen Anzahl von Zuständen operieren kann, die quasi unabhängig sind von der beschränkten Anzahl der externen Zustände, die durch eine externe Messung festgelegt werden können. Die Messung wird somit zu einer Abbildung von einer Menge mit sehr vielen (im Grenzfall unendlichen) Elementen auf eine Menge mit bedeutend weniger Elementen.

Anwendung des Superpositions-Chaos-Computing

Als Anwendungsgebiete des Superpositions-Chaos-Computing sollte geprüft werden, ob damit eine effiziente Approximation von Quantensystemen und ihrer Dynamik durchgeführt werden könnte.

Sollte sich die Hypothese der unterschiedlichen Mächtigkeit von Superpositions-Chaos- und Quanten-Computing bestätigen, so könnte trotzdem Chaos-Computing als effiziente Approximation von Quantensystemen eingesetzt werden, da grosse physikalische Systeme erzeugt werden können, in denen Chaos-Computing-Operationen durchgeführt werden können, während eines der Hauptprobleme beim Quanten-Computing in der Skalierbarkeit und der damit verbundenen Erhaltung der Kohärenz der Superposition besteht.

Weiterhin können evolutionäre Szenarien des Designs und der Simulation von Quantensystemen von der Approximation durch Superpositions-Chaos-Systemen profitieren, da eine Menge paralleler Chaos-Systeme zur Evaluation von jeweils einem Quantensystem verwendet werden könnte, das ein Individuum in einer Population darstellt, mit der Quantensysteme erzeugt werden sollen, die bestimmte Eigenschaften besitzen sollen. Im Bezug auf das Design von Quanten-Schaltkreisen durch GP gibt es hierzu bereits Ansätze (siehe Williams & Gray (1998), Spector et al. (1999)).

Superpositions-Chaos-Computing könnte somit ein Zwischenschritt auf dem Weg zu Ultra-Lage-Quantum-Machines (ULQM) im allgemeinen und Ultra-Lage-Quantum-Computers (ULQC) im speziellen sein, da mit grossen Superpositions-Chaos-Systemen Approximationen der funktionalen Basiseinheiten, ebenso wie kleinere Architekturen aus den Basiseinheiten von ULQC möglich werden. Das Design der Basiselemente und der Architekturen kann dabei wieder über evolutionäre Prozesse in Kombination mit Aktivem Lernen durchgeführt werden.

Quanten-Chaos

Quanten-Chaos-Computing 1

Ein Ansatz des Quanten-Chaos-Computings ist die Kombination der Nutzung von periodischen Orbitalen als Informationsspeicher und der exponentiellen Superposition beim Quanten-Computing. Würde es gelingen, die Orbitale als Qbits zu verwenden, die in eine Quanten-Superposition versetzt werden, und durch einen Quantenalgorithmus verarbeitet werden, so besitzt man ein System, das sehr viele Qbits operationalisieren kann, ohne dass ein sehr grosses physikalisches System notwendig wäre, dessen Kohärenzerhaltung nach heutigem Kenntnisstand sehr schwierig zu erreichen wäre.

Quanten-Chaos-Computing 2

Innerhalb dynamischer Systeme können sich globale Muster bilden, die temporär stabil sind, auch wenn die lokale Dynamik der Basiselemente "at-the-bottum" instabil und chaotisch ist. Diese makroskopischen Selbstorganisationsprozesse werden im Rahmen der Synergetik (siehe z.B. Haken (1987)) erforscht, und könnten in einem Kohärenz-Engineering genutzt werden, um dynamische Quantensysteme zu erzeugen, die Computing-Fähigkeiten besitzen. D.h. ein solches System durchlaufen zeitliche Muster von Kohärenz (Superposition) und Dekohärenz (Ermittlung einer einzelnen Lösung), wobei diese Muster einen Quantenalgorithmus bilden. Ein Beispiel für makroskopische Selbstorganisation sind Ladungs- und Spin-Dichtewellen (siehe Brown & Grüner (1994)), wobei insbesondere letzteres für spin-basierte QC von Interesse sein dürfte.

In diesem Rahmen könnte die allgemeine Hypothese aufgestellt werden, dass Selbstorganisationsprozesse innerhalb eines deterministisch, chaotischen Q-Systems in der Lage sind, lange Kohärenzzeiten für Q-Superposition zu erhalten, die für ULQC notwendig sind.

Im Hardware-Projekt HW04 "EHW auf der Ebene von 1-Synapsen-Transistoren" wurden mit konventionellen CMOS-Techniken 1SyT erzeugt, die analoge Gewichte repräsentieren. Mit Hilfe der Hardware-Techniken, mit denen QC erzeugbar sind, könnte versucht werden, ein Quanten-Äquivalent einer 1SyT zu erzeugen (1SyQT), mit dem eine Superposition von Gewichten erzeugt werden kann, sodass Quanten-Neuronale-Netze (QNN) erzeugbar werden. Mit QNN könnten zudem Erkenntnisse bezüglich der Hypothesen von Roger Penrose gewonnen werden, ohne dass an dieser Stelle näher darauf eingegangen werden soll.

Referenzen

Babloyantz, A.; Lourenco, C.: Computing with chaos: A paradigma for cortical activity. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, Vol. 91, pp. 9027 - 9031, September 1994, Biophysics.

Brown, Stuart; Grüner, George: Ladungs- und Spindichtewellen: Modell für Selbstorganisation. In: Spektrum der Wissenschaft, 6/1994, S. 64 - 71.

Ditto, William L.; Pecora, Louis M.: Das Chaos meistern. In: Spektrum der Wissenschaft, 11/1993, S. 46 - 53.

Ditto, William L.; Spano, Mark L.; Lindner, John F.: Techniques for the control of chaos. In: Physica D, 1995, S. 198 - 211.

Gutzwiller, Martin C.: Chaos in Classical and Quantum Mechanics, Springer-Verlag, New York, 1990.

Gutzwiller, Martin C.: Quantenchaos. Spektrum der Wissenschaft, 3/1992, S. 56 - 62.

Haake, F.: Quantum Signatures of Chaos. Springer-Verlag, Berlin, 1991.

Haken, Hermann: Advanced Synergetics. Springer Ser. Synergetics Vol. 20, Springer Verlag, 1987.

Langton, Christopher G.: Life at the Edge of Chaos. In: Langton, C.G.; Taylor, C; Farmer, J.D.; Rasmussen, S.: Artificial Life II, Addison-Wesley, 1991, S. 41 - 91.

Siegelmann,Hava T.; Fishman, Shmuel: Analog computation with dynamical systems. Physica D 120 (1998), S. 214 - 235.

Sinha, Sudeshna; Ditto, William L.: Computing with distributed chaos. In: PHYSICAL REVIEW E JULY 1999 VOLUME 60, NUMBER 1.

Spector, Lee; Barnum, H.; Bernstein, H.J.; Swamy, N.: Finding a Better-than-Classical Quantum AND/OR-Algorithm using Genetic Programming. 1999.

Stöckmann, H.-J.: Quantum Chaos: An Introduction. Cambridge University Press, 1999.

Williams, Colin P; Gray, Alexander: Automated Design of Quantum Circuits. In: Williams: Quantum Computing and Quantum Communication (QCQS98), Springer LNCS 1509, S. 113-125.